Здравствуйте c-t-cat!
У вас система выпуска - май 2013 года, с тех пор многое , что поменялось, и в функционале, и в железе. Поэтому предлагаю сделать следующее:
1. Заменить метки на новые в установочном центре (можно в рамках гарантии). Сейчас в метках используется более современный алгоритм. Батарейку менять не стОит, пока не включится индикация разряда (3 коротких "пика" зуммера при вкл/выкл зажигания).
2. Вопрос снят по причине использования корпоративного счета.
3. Надо реализовать принудительную постановку на охрану штатным ключом и включить п.п.1.14.2. Тогда при удалении от автомобиля с меткой, будет включаться частичная охрана(с контролем датчика движения, зажигания и капота) и пассажиры могут оставаться в автомобиле (хлопать дверьми, багажником и пр. без тревог). Нажимать ничего предварительно не надо, режим активируется и выключается автоматически, при удалении/приближении метки.
4. Да, есть зависимость от Яндекса по данным расположения БС. Но вопрос может быть в том, что SIM основного блока в момент запроса координат "общается" не с ближайшей станцией. Поэтому создается впечатление, что местоположение БС не верное.